Ausgewählte Kapitel der Geometrie (WS 2012/13)
Allgemeine Daten
- Vorlesung und Übungen (3+1 SWS, 4 LP):
dienstags und freitags, jeweils 12 – 14 Uhr, im Hörsaal M1 - Modulabschlussklausur (4 LP)
- Zielgruppe: Bachelor KJ und GHR-Studiengang nach LPO 2003
(Diese Veranstaltung ist nicht anrechenbar für die Lehramtsstudiengänge in den Bereichen Gymnasium/Gesamtschule oder Berufskolleg und auch nicht für die entsprechenden Bachelor- und Masterstudiengänge.)
Nützliche Informationen
| Vorlesungszeit: | 8.10.2012 – 1.2.2013 (Weihnachtspause: 24.12.2012 – 4.1.2013) In der Woche vom 28.1. bis zum 1.2.2013 ist die erste Klausurwoche, so dass dann keine Vorlesungen stattfinden, weil die Hörsäle für die Klausuren benötigt werden. Es gibt aber eine Wiederholungsphase, und zwar:
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| Vorlesungsverzeichnis: | Vorlesung und Übungen |
| Veranstalterin: | Angela Holtmann |
| Sprechstunde: | siehe Hauptseite der Fachstudienberatung |
| Büro: | 106, Einsteinstraße 62 |
| Telefon: | 0251/83-33018 |
| E-Mail: | |
| Postfach: | in der Einsteinstraße 62 im Vorraum auf der linken Seite („Studienkoordination/Fachstudienberatung“) |
Vorlesungsinhalte
Die Vorlesung wird sich inhaltlich voraussichtlich von der von mir gehaltenen Vorlesung aus dem Wintersemester 2011/12 unterscheiden. Die inhaltlichen Schwerpunkte werden im Wintersemester 2012/13 voraussichtlich auf der Behandlung von Symmetriegruppen im R3 und nichteuklidischer Geometrie ((Beispiele) hyperbolischer und sphärischer Geometrie) sowie notwendigen mathematischen Grundlagen aus der Algebra und der Linearen Algebra liegen.
Trotz (oder vielleicht auch gerade wegen) des etwas anderen inhaltlichen Schwerpunkts bleiben natürlich die Qualifikationsziele des Moduls – bzw. dessen, was eine Geometrieveranstaltung in diesem Modul dazu beitragen kann – erhalten.
Inhaltlich vorausgesetzt werden insbesondere die Inhalte der Geometrievorlesung aus dem Modul 2, darunter ganz besonders Folgendes:
- Grundbegriffe aus der euklidischen Geometrie der Ebene; Inzidenz-, Parallelen-, Anordnungs-, Winkelmaß- und Längenmaßaxiome (vgl. Müller-Philipp, Gorski: Leitfaden Geometrie, Kap. 3)
- Grundbegriffe der Abbildungsgeometrie in der euklidischen Ebene; Kongruenzabbildungen, Kongruenz von Strecken, Winkeln und Dreiecken, Symmetrie, Deckabbildungsgruppen (vgl. Müller-Philipp, Gorski: Leitfaden Geometrie, Kap. 4)
Überblick über die Vorlesungen/zentralen Übungen
- Di, 9.10.2012: Einführung in die Gruppentheorie: Wiederholung/Gruppenaxiome (Verknüpfung, Assoziativität, neutrales Element, zu … inverses Element) und Beispiele/Gegenbeispiele: ganze Zahlen, natürliche Zahlen, Hintereinanderschaltungen von Abbildungen einer Menge in sich selbst, Drehgruppe eines regelmäßigen Dreiecks
- Fr, 12.10.2012: Symmetriegruppe eines regelmäßigen Dreiecks, Gruppentafeln; Symmetriegruppen endlicher Mengen (Sn), Kurzschreibweise für Elemente aus der Sn, Hintereinanderschaltung von Elementen aus der Sn liefert eine Verknüpfung, Beispiele aus der S3 und der S4; Kommutativität (abelsch), Gruppenordnung, Untergruppe
- Di, 16.10.2012: Gruppenhomomorphismen, Gruppenisomorphismen, Beispiele: Drehgruppe eines regelmäßigen Dreiecks und „Z/3Z“ (– das ist (zum jetzigen Zeitpunkt nur) eine Kurzschreibweise für die Menge {0,1,2} mit der in der Vorlesung angegebenen Verknüpfung), Multiplikation mit fester ganzer Zahl, Einbettung der Drehgruppe eines regelmäßigen Dreiecks in die Drehgruppe eines regelmäßigen Sechsecks, Einbettungen von Untergruppen; Eigenschaften von Gruppenhomomorphismen – Teil 1: neutrales Element wird auf neutrales Element abgebildet
- Fr, 19.10.2012: Eigenschaften von Gruppenhomomorphismen – Teil 2: inverse Elemente werden auf Inverse der ursprünglichen Elemente abgebildet; Kern und Bild eines Gruppenhomomorphismus, Beispiel: Kerne der Multiplikationsabbildungen mit einer festen ganzen Zahl
- Di, 23.10.2012: Fortsetzung/Beispiele für Kern und Bild eines Gruppenhomomorphismus f: G → H; Kern f bzw. Bild f sind Untergruppen von G bzw. H; Aufgabenbesprechung/Übungsblatt 1 (Aufgabe 1)
- Fr, 26.10.2012: Aufgabenbesprechung/Übungsblatt 1 (Aufgaben 2 und 3)
- Di, 30.10.2012: Injektivität; Charakterisierung injektiver Gruppenhomomorphismen, Beispiele/Gegenbeispiele; Gruppenoperationen, Beispiele (Drehgruppe eines regelmäßigen Dreiecks, Drehgruppe eines Würfels), Fixpunkte, Stabilisatoren, Bahnen, Beispiel (Drehungen der euklidischen Ebene um einen festen Punkt)
- Fr, 2.11.2012: Stabilisatoren von Elementen und Änderung unter der Gruppenoperation, Bahnen sind entweder disjunkt oder gleich; Fundamentallemma: Die Gruppenordnung ist das Produkt der Bahnenlänge mit der Stabilisatorordnung
- Di, 6.11.2012: Beispiel zum Fundamentallemma: Drehgruppe eines Würfels; Aufgabenbesprechung/ Übungsblatt 2 (Aufgabe 2) und Übungsblatt 3 (Aufgabe 1)
- Fr, 9.11.2012: Satz von Lagrange: Untergruppenordnung ist Teiler der Gruppenordnung, Beispiel: Drehgruppe eines regelmäßigen Dreiecks in der Drehgruppe eines regelmäßigen Sechsecks, Warnung: Umkehrung gilt nicht! (einfaches Beispiel: Die Menge, die aus der Drehung um 120° gegen den Uhrzeigersinn um den Mittelpunkt eines regelmäßigen Dreiecks besteht, ist eine einelementige Teilmenge der (dreielementigen) Drehgruppe des Dreiecks, aber keine Untergruppe, obwohl 1 ein Teiler von 3 ist.); Aufgabenbesprechung/Übungsblatt 2 (Aufgabe 1)
- Di, 13.11.2012: Aufgabenbesprechung/Übungsblatt 2 (Aufgabe 3), Übungsblatt 3 (Aufgabe 3) und Übungsblatt 3 (Aufgabe 2)
- Fr, 16.11.2012: Aufgabenbesprechung/Übungsblatt 4 (Aufgabe 1); (Erinnerung an die) Euklidische Geometrie: Rn, n∈N, Addition und Skalarmultiplikation, Anschauungen im R2 (und R3)
- Di, 20.11.2012: Euklidischer Abstand, euklidische Norm, Zusammenhang zwischen Abstand und Norm, Skalarprodukt im Rn, Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Norm, Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (mit Beweis), Winkel im Rn
- Fr, 23.11.2012: Aufgabenbesprechung/Übungsblatt 5 (Aufgaben 1, 2 und 3 (Teil 1))
- Di, 27.11.2012: Aufgabenbesprechung/Übungsblatt 5 (Aufgabe 3 (Teil 2)), Übungsblatt 4 (Aufgabe 2) und Übungsblatt 6 (Aufgaben 1 und 3)
- Fr, 30.11.2012: Aufgabenbesprechung/Übungsblatt 6 (Aufgabe 2); Euklidische Ebene: Punkte, Geraden, Strecken, Kongruenz von Strecken, Winkel, Kongruenz von Winkeln; Beispiel: R2
- Di, 4.12.2012: Axiome der euklidischen Ebene: Inzidenzaxiome, Lageaxiome, Kongruenzaxiome
- Fr, 7.12.2012: Axiome der euklidischen Ebene: Stetigkeitsaxiome, Parallelenaxiom (in der Variante: es gibt genau(!) eine Gerade…); Variation des Parallelenaxioms für hyperbolische Geometrie, Poincaré-Modell der oberen Halbebene, (zwei verschiedene Sorten von) „Geraden“ in der oberen Halbebene
- Di, 11.12.2012: Fortsetzung/Poincaré-Modell der oberen Halbebene: (ausführlicher) Beweis, dass hier das erste Inzidenzaxiom gilt
- Fr, 14.12.2012: Fortsetzung/Poincaré-Modell der oberen Halbebene: Beweis, dass hier das zweite und dritte Inzidenzaxiom gelten; Beweis, dass hier das Parallelenaxiom nicht gilt; Definition von "zwischen" im Poincaré-Modell
- Di, 18.12.2012: Aufgabenbesprechung/Übungsblatt 7
- Fr, 21.12.2012: Aufgabenbesprechung/Übungsblatt 8 (Aufgaben 1 und 2)
- Di, 8.1.2013: Fortsetzung/Poincaré-Modell der oberen Halbebene: Satz, dass hier die Lageaxiome gelten; gebrochen-lineare Abbildungen (=Möbius-Transformationen), Beispiele (Translationen, Streckungen, Kehrwertbildung, Identität), Eigenschaften gebrochen-linearer Abbildungen (Hintereinanderschaltung ist wieder eine gebrochen-lineare Abbildung, Umkehrabbildungen zu gebrochen-linearen Abbildungen)
- Fr, 11.1.2013: Aufgabenbesprechung/Übungsblatt 9 (Aufgabe 1 (exemplarisch))
- Di, 15.1.2013: Aufgabenbesprechung/Übungsblatt 9 (Aufgabe 2); gebrochen-lineare Abbildungen, die die obere Halbebene in sich überführen, und Eigenschaften
- Fr, 18.1.2013: weitere Eigenschaften gebrochen-linearer Abbildungen; Kongruenz von Strecken und Winkeln im Poincaré-Modell der oberen Halbebene; mögliche Abstandsdefinition für das Poincaré-Modell der oberen Halbebene; Doppelverhältnis
- Di, 22.1.2013: Eigenschaften des Doppelverhältnisses, Charakterisierung, wann es reell und wann es positiv ist; Definition des hyperbolischen Abstandes im Poincaré-Modell über das Doppelverhätnis (Logarithmus davon); Winkelmessung im Poincaré-Modell der oberen Halbebene
Eine Übersicht über die Vorlesungs- und Übungsinhalte finden Sie hier. (Bitte am 28.1.2013 noch mal für den „letzten Stand“ auf diese Seite sehen!)
Übungsblätter
Jede Woche werden in der Vorlesung Übungsblätter verteilt bzw. hier online gestellt. Jedes Blatt enthält in der Regel drei Aufgaben, wobei es für jede der Aufgaben in der Regel maximal 4 Punkte gibt, maximal 12 Punkte pro Zettel. Dabei sind alle Aufgaben zu bearbeiten. (Die Aufgaben müssen nicht vollständig gelöst sein, aber ggf. ist dann zu notieren, wobei die Schwierigkeit in der Aufgabe lag. Vorausgesetzt wird dabei natürlich, dass man die Vorlesung nachgearbeitet und zumindest die zugrundeliegenden Definitionen für die Aufgaben gelernt hat.)
Die Lösungen zu den Übungsaufgaben sind, sofern nicht anders angegeben, jeweils eine Woche nach der Ausgabe in die Postfächer der Übungsleiter (Nummern 143 (S. Kirchner) und 144 (J. Alsmeier), im Hörsaalgebäude, Einsteinstr. 64) einzuwerfen. Der Abgabetermin ist immer dienstags, 12 Uhr, ab dem dritten Übungsblatt freitags, 12 Uhr, sofern nichts anderes mitgeteilt bzw. geschrieben wurde.
Die Übungen können natürlich in Gruppen gerechnet werden, aber mehr als drei Studierende sollen nicht zusammen einen Zettel abgeben, damit jeder die Möglichkeit hat, in jeder Woche zumindest eine der drei Aufgaben selbst aufzuschreiben. (Schließlich muss man in der Klausur ja auch alles selbst schreiben…)
- Übungsblatt 1 (Abgabe: Di, 16.10.2012) – die Aufgaben 2 und 3 sind voraussichtlich ausnahmsweise erst ab Freitag, dem 12.10.2012, lösbar
- Übungsblatt 2 (Abgabe: Di, 23.10.2012) – Assoziativität der Verknüpfung in Aufgabe 3
- Ab dem dritten Übungsblatt werden der Ausgabe- und der Abgabetermin auf den Freitag verlegt.
- Übungsblatt 3 (Abgabe: Fr, 2.11.2012)
- Übungsblatt 4 (Abgabe: Fr, 9.11.2012)
- Übungsblatt 5 (Abgabe: Fr, 16.11.2012)
- Übungsblatt 6 (Abgabe: Fr, 23.11.2012)
- (21.11.2012) Ich bin gefragt worden, ob ich die letzte Aufgabe auf Blatt 6 wirklich so meine, wie ich sie gestellt habe. Eigentlich war es anders gedacht (nämlich ohne die Normen in den Skalarprodukten und den Winkeln), aber wenn jemand wirklich das ausrechnet, was dort steht, kann er natürlich keine Punktabzüge bekommen.
Zur „Übung“ aber noch einmal die Fassung in der Form, wie ich sie hätte eigentlich stellen wollen – es kann ja nicht schaden, auch das kurz auszurechnen: Übungsblatt 6 („korrigierte“ Fassung)
Man darf sich aussuchen, welche Fassung der Aufgabe man abgibt, allerdings sollte man natürlich hinschreiben, was man da jetzt wirklich berechnet hat. - Übungsblatt 7 (Abgabe: Fr, 7.12.2012)
- Übungsblatt 8 (Abgabe: Fr, 14.12.2012)
Achtung, bei Aufgabe 3 muss statt ad-bc≠0 stehen: ad-bc=1. - (Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 8)
- Übungsblatt 9 (Abgabe: Fr, 21.12.2012)
- Probeklausur (mit der Hälfte des Umfangs der Modulabschlussklausur) ((freiwillige) Abgabe: Mo, 7.1.2012)
Die Klausur habe ich am 21.12.2012 gegen 19 Uhr an alle verschickt, die sich bei mir in diesem Semester im QISPOS zur Vorlesung oder zu einer der Klausuren angemeldet hatten (an die WWU-E-Mail-Adressen). (Falls ich jemanden vergessen haben sollte oder jemand Probleme mit seinem E-Mail-Postfach hat, bitte einfach eine E-Mail schicken!) Das Erhalten der E-Mail ist also keine Gewähr für eine korrekte QISPOS-Anmeldung.
Übungsleiter
- Johannes Alsmeier (2 Gruppen), Postfach 144
- Sven Kirchner, Postfach 143
Zusätzliche Übungen
Zusätzlich zu den großen Übungen (bei mir) werden die Übungsleiter weitere Übungsstunden in
„Kleingruppen“ anbieten, wo die Gelegenheit besteht, Fragen zur Vorlesung zu stellen, einige (weitere)
Beispiele zu rechnen, noch einmal genauer (und langsamer) auf Beweise einzugehen etc. Die Teilnahme an den zusätzlichen Übungsstunden ist
natürlich nicht verpflichtend, aber sehr wahrscheinlich hilfreich. (Zumindest bekam ich diese Rückmeldung von den meisten Studierenden aus den bisherigen GHR-Veranstaltungen, wo wir dieses
zusätzliche Angebot gemacht haben.)
Die zusätzlichen Übungen finden zu folgenden Terminen statt:
- Mo, 12 – 14 Uhr, Hörsaal M6, Einsteinstraße 64
- Di, 8 – 10 Uhr, Seminarraum N1, Orléans-Ring 10
- Di, 10 – 12 Uhr, Seminarraum N1 (am 16.10.2012), Seminarraum N3 (ab 23.10.2012), Orléans-Ring 10
Literatur
- H. Knörrer: Geometrie. Ein Lehrbuch für Mathematik- und Physikstudierende, 2. Auflage, 2006, Vieweg+Teubner, ISBN: 978-3-8348-9053-5 (s.a. hier)
- I. Agricola, T. Friedrich: Elementargeometrie. Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht, 3., überarbeitete Auflage, 2011, Vieweg+Teubner, ISBN: 978-3-8348-9826-5 (s.a. hier)
- S. Müller-Philipp und H.-J. Gorski: Leitfaden Geometrie, 5., erweiterte Auflage, 2009, Vieweg+Teubner, ISBN: 978-3-8348-8616-3 (s.a. hier)
- G. Fischer: Lineare Algebra und Analytische Geometrie, 1. Auflage, 2011, Vieweg+Teubner, ISBN: 978-3-8348-9858-6 (s.a. hier)
Angegeben sind hier jeweils die neuesten mir bekannten Auflagen/Versionen der Bücher. Das heißt natürlich nicht, dass man die älteren Fassungen aus der ULB (oder in der Bibliothek der Mathematischen Institute) nicht mehr nutzen kann… (Die hier verlinkten Fassungen der Bücher sind von den Rechnern der WWU Münster aus bzw. über VPN in Vollversionen abrufbar.)
Darüber hinaus lohnt es sich auch, einen Blick in Bücher in der Bibliothek zu werfen, in deren Titeln der Begriff
„(Elementare) Geometrie“ vorkommt.
Notwendige Vorkenntnisse, Teilnahmevoraussetzungen
Die Veranstaltung bildet die zweite Vorlesung im Modul 3 (= Modul 4 für Studierende nach LPO 2003) „Ausgewählte Kapitel der Mathematik“. Die Veranstaltung wird ihren Schwerpunkt in der Geometrie haben. Daher wird der Abschluss des Moduls 2 (Mathematik und ihre Didaktik II) im Bachelor KJ vorausgesetzt. (Es ist jedoch sinnvoll, auch das Modul 1 (Mathematik und ihre Didaktik I) abgeschlossen zu haben.) In den älteren Studiengängen (Lehramt GHR nach LPO 2003) wird eine bestandene Zwischenprüfung vorausgesetzt.
Klausuren
Die Klausur zur Veranstaltung bildet gleichzeitig die 4-stündige Abschlussklausur zum Modul 3 (= Modul 4 für die
GHR-Studierenden nach LPO 2003). Weitere Voraussetzungen zum Bestehen des Moduls 3 sind als Studienleistungen die Übungen zu den beiden Vorlesungen, das
Bestehen der Klausur zur ersten Vorlesung in diesem Modul (Stochastik oder Analysis) und ein Schein aus einem (fachlichen) Seminar (i.d.R. Zahlbereiche).
Die erste Klausur (für den Bachelor KJ) findet am Montag, dem 4.2.2012, in der Zeit von 8 bis 12 Uhr in den Hörsälen M1 und M2 in der Einsteinstraße statt. Die zweite Klausur (für den Bachelor KJ) findet am Freitag, dem 5.4.2012, in der Zeit von 8 bis 12 Uhr im Hörsaal M2 statt. Wir starten jeweils pünktlich um 8.00 Uhr s.t. (= 4 Zeitstunden).
Wenn Sie an der Klausur teilnehmen möchten, müssen Sie sich – da Frau Herweg bis zum 1.7.2013 im Urlaub ist – bis zum 29.6.2013, 23.59 Uhr per E-Mail an mich verbindlich für den Termin anmelden. (Die Anmeldung geht leider nicht per Selbstanmeldung über QISPOS.) Ich sammele die Daten und gebe sie an Frau Herweg weiter, die sich nach ihrem Urlaub um die QISPOS-Einträge kümmert.
Wer sich bis zum 29.6.2013, 23.59 Uhr nicht angemeldet hat, kann die Klausur nicht mitschreiben.
Die Anmeldung zur Vorlesung (Prüfungsnummer: 13002) ist im QISPOS-Anmeldezeitraum (22.10 – 17.12.2012) möglich, die Anmeldung zur Modulabschlussprüfung (Prüfungsnummer: 13010) – das ist termingebunden!! – bis jeweils acht Tage vor dem Klausurtermin. Wer also gleich den zweiten Termin als „Erstversuch“ in diesem Semester nutzen möchte, muss sich, falls er schon zum ersten Termin angemeldet ist, bis einschließlich 27.1.2013 wieder im QISPOS abmelden und sich auf jeden Fall für den zweiten Termin bis einschließlich 28.3.2013 im QISPOS wieder anmelden (hier unter "Termin 01"). Wer den zweiten Termin als Wiederholungsversuch aus diesem Semester nutzen möchte – also am 4.2.2013 durchgefallen sein sollte –, muss sich ebenfalls für den zweiten Termin im QISPOS bis einschließlich 28.3.2013 nochmals anmelden (hier dann unter "Termin 02").
Im grundständigen Lehramtsstudiengang nach LPO 2003 sind die beiden Scheine (Analysis/Stochastik und Seminar Zahlbereiche) dem Staatlichen Prüfungsamt bereits bei der Anmeldung der Modulabschlussprüfung vorzulegen. Studierende, die noch nach der LPO 2003 studieren, sollten sich rechtzeitig mit mir in Verbindung setzen, wenn sie die Modulabschlussklausur bei mir schreiben möchten.
Angela Holtmann, letzte Änderung: 29.05.2013
