Lehre Sommersemester 2023:

Vorlesung Topologie IV

Operads, trees and configurations
Mondays and Thursdays 16:00 - 18:00

ZFB-Seminar

Titel: Masstheorie und dynamische Systeme

Dienstags 14:00 - 16:00
Ein dynamisches System besteht, ziemlich allgemein gesagt, aus einer Menge X und einer Abbildung f von X nach X. In der Theorie der dynamischen Systeme werden dann Fragen gestellt wie zum Beispiel: gibt es Elemente von X, die durch f auf sich selbst abgebildet werden, gibt es Elemente von X, die unter Iterationen von f auf sich selbst abgebildet werden, und vor allen Dingen, was sind die statistischen Eigenschaften von f bei fortlaufender Iteration, d.h. mehrfacher Anwendung von f. Meistens wird darauf bestanden, dass X eine Zusatzstruktur hat und dass f diese erhaelt; zum Beispiel kann das eine Topologie sein oder ein Wahrscheinlichkeitsmass. In diesem Seminar ist es mit grosser Wahrscheinlichkeit ein Wahrscheinlichkeitsmass.
Deswegen sollen auch die Anfaenge der modernen Masstheorie in dem Seminar behandelt werden. Das ist die Masstheorie, die von Lebesgue begruendet wurde. Sie ist auch eine Integrationstheorie und ersetzt als solche die aeltere Integrationstheorie von Riemann. Sie beruft sich sehr auf die Mengenlehre, die Riemann so nicht zur Verfuegung hatte (weil er schon tot war, als Cantor richtig loslegte). Im Seminar sollen diese Aspekte betont werden, und es soll auch herausgearbeitet werden, was genau an der Riemannschen Integrationsmaschinerie nicht zufriedenstellend war. Literatur: zur Masstheorie das Buch von M. Brokate und G. Kersting, "Mass und Integral", Springer/Birkhaeuser 2011, 2019, Reihe "Mathematik Kompakt". Zur Kombination Masstheorie plus dynamische Systemen gibt es ein kurzes Skript aus einer aelteren Veranstaltung von mir: Skript zu Masstheorie und dynamischen Systemen. Zum Thema "dynamische Systeme" gibt es auch ein sehr schoenes Buch von M. Einsiedler und K.Schmidt: "Dynamische Systeme", Springer/Birkhaeuser 2014, wieder in der Reihe "Mathematik Kompakt". Das ist aber sehr anspruchsvoll.

Lehre Wintersemester 2023/24:

Vorlesung Lange algebraische Vertiefung

Euklidische und nicht-Euklidische Geometrie
Termine: Mo 10-12 und Do 10-12
Wir werden uns mit der Frage beschaeftigen: worum ging es eigentlich genau in dem etwa 2000 Jahre waehrenden Streit um Euklids Paralellenaxiom? Unser Zugang wird aber nicht "historisch" sein, sondern wir wollen die moderne Sprache der Mengenlehre benutzen und dann auch ganz besonders den Begriff "metrischer Raum" (vom Anfang des 20. Jahrhunderts.) Das fuehrt zuerst zu einer Charakterisierung der gewoehnlichen Euklidischen Ebene unter den metrischen Raeumen, mit nur 3 ziemlich ueberschaubaren Axiomen. Das dritte von diesen ist immer noch erkennbar als das Parallelenaxiom, und wir fragen dann, was passieren kann, wenn man es weglaesst. Es gibt dann ein ganz neues Beispiel, also einen metrischen Raum, der die Axiome 1 und 2 erfuellt, aber Axiom 3 verletzt. Das ist die hyperbolische Ebene, eine Entdeckung des fruehen 19. Jahrhunderts, mit der der Streit um das Parallelenaxiom entschieden wurde (und zwar so: Euklid hatte ganz recht, Axiom 3 folgt nicht aus den anderen). Dann stellt sich aber noch die schwierige Frage, ob es weitere Beispiele gibt.
Es gibt ein Skript dazu (das aber nie ganz fertig wird). Es soll auch eine Learnwebseite dazu geben (bald).

Reading Seminar

(Applications of) Morse theory in low dimensions

Timing: 2 hrs per week such as Tue 16-18 (extremely negotiable)
I'm hoping that we can together read two classics: Hatcher's proof of the Smale conjecture (Ann. of Math. 117, 1983) and Kirby's foundational article (Invent.Math. 45, 1978) on the Kirby calculus.