Oberseminar Topologie: "Minimal Entropy" (WS 2000/2001)

Leitung: Michael Joachim und Thomas Schick

Termin: Mi, 15:10-17:00, Raum SR5

Ankündigung:  Sei (M; g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und M" ihre universelle Überlagerung. Fixiere ein Element o in M" und definiere die Entropie

Man kann zeigen, dass der Grenzwert existiert und nur von der Metrik, nicht aber von o abhängt.
Falls M eine Metrik mit konstanter negativer Schnittkrümmung besitzt (oder allgemeiner eine lokal-symmetrische Metrik mit negativer Krümmung), dann kann diese Metrik allein anhand der zwei globalen Invarianten Entropie und Volumen erkannt werden. Präziser und allgemeiner hat man

Theorem 1 (Besson-Curtois-Gallot): Sei f : (N; g) -> (M; g_0) eine Abbildung vom Grad d > 0 zwischen geschlossenen orientierten n-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeiten, und g_0 eine lokal-symmetrische Metrik mit negativer Schnittkrümmung. Dann gilt

Gleichheit gilt genau dann, wenn f (nach reskalieren von g) homotop zu einer isometrischen Überlagerung ist.

Eine direkte Folgerung ist Mostow-Rigidität, und gewisse Verschärfungen hiervon. Es gibt zahlreiche weitere Anwendungen, z.B. auf die Existenz von Einstein Metriken und auf die Theorie dynamischer Prozesse, insbesondere des geodätischen Flusses. Wir konzentrieren uns insbesondere auf den Beweis des Theorems im Falle dass (N; g) negative Schnittkrümmung hat und f eine Homotopieäquivalenz ist. Dann kann man explizit eine zu f homotope kanonische Abbildung F :N -> M konstruieren, welche lokal das Volumen reduziert, und im Falle h(g)nvol(N; g) = h(g_0)^nvol(M; g) eine Isometrie ist. Insbesondere liefert dies eine explizite Konstruktion der durch Mostow-Rigidität vorhergesagten Isometrien.

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