Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 15/16 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe bis Donnerstag, den 10.12.,2015, 10 Uhr in den Briefkästen Blatt 7

Aufgabe 1. Sei a > 0, x_{0} ∈ (0, \frac{2}{a}) beliebig und die Folge (x_{n})_{n} definiert durch

x_{n+1} := x_{n}(2 − ax_{n}) für alle n ∈ ℕ.

Zeigen Sie, daß x_{n} < x_{n+1} < \frac{1}{a} für alle n ≥ 1 und lim_{n→∞} x_{n} = 1/a gilt.

Aufgabe 2. Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Folgen (a_{n})_{n}, (b_{n})_{n} und (c_{n})_{n}, gegeben durch

(a_{1}, a_{2}, a_{3}, …) = (1, \frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, 1, …),

b_{n} = \frac{1 + (−1)^{n}n^{2}}{3n + n^{2}} , c_{n} = \frac{2\sqrt{n}}{n + 1} + i^{2n+1} \frac{n − 1}{n + 2}.

Aufgabe 3. Wir setzen ohne Beweis voraus, daß für jede rationale Zahl s > 0 die Folge der Zahlen

a_{n} := (1 + \frac{s}{n})^{n}

konvergiert. Zeigen Sie, daß dann lim_{n→∞} a_{n} = e^{s} gilt.

(Hinweis: Betrachten Sie geeignete Teilfolgen von (a_{n})_{n} und von ((1 + \frac{1}{n})^{n})_{n}.)

Aufgabe 4. Prüfen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz

(a) ∑_{n=0}^{∞} (\frac{1 + \sqrt{3}i}{4})^{n} ,  (b) ∑_{n=0}^{∞} \frac{\sqrt{n}}{1 + \sqrt{n}},

(c) ∑_{n=1}^{∞} (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} − 1) ,  (d) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)},

und berechnen Sie im Fall der Konvergenz die Reihe.

(Hinweis: Erweitern Sie \sqrt{1 + \frac{1}{n}} − 1 mit \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1 und nutzen Sie in (d) Partialbruchzerlegung.)

Aufgabe N. (4 Zusatzpunkte) Zeichne einen Nikolaus unter ausschließlicher Verwendung von Ziffern, griechischen Buchstaben und mathematischen Symbolen.