Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 2014 I. Ullisch

Übungen zu Mathematik für Physiker II

Abgabe: Mittwoch, 16.4.2014 bis 12h00, in den Briefkästen Blatt 1

Aufgabe 1. Für n ∈ ℕ und a ∈ ℝ, a > 0, sei die Funktion f_{n} : ℝ ⟶ ℝ, x ⟼ x^{n} e^{−ax^{2}} gegeben. Bestimmen Sie die Nullstellen, lokalen und globalen Maxima und Minima von f_{n}, n ∈ ℕ. Bestimmen Sie alle Bereiche, in denen f_{n} konvex oder konkav ist, und skizzieren Sie den Graphen von f_{n} für n = 0, 1, 2, 3.

Aufgabe 2. Seien n ∈ ℕ und die Funktionen f, g : ℝ ⟶ ℝ n-mal differenzierbar. Beweisen Sie die verallgemeinerte Leibniz-Regel für höhere Ableitungen

(fg)^{(n)} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n−k)}.

Aufgabe 3.

(a) Geben Sie jeweils das Taylorpolynom des Grades ≤ 4 in a für die folgenden Funktionen an:

i) x + e^{x}, a = 1

ii) sin (π\sqrt{1 + x^{2}}), a = 0.

(b) Berechnen Sie jeweils die ersten partiellen Ableitungen folgender Funktionen:

i) e^{xy} sin(x^{2} + y) auf ℝ^{2} ii) (xy)^{z} auf (ℝ^{+})^{3}.

Aufgabe 4. Sei f : ℝ^{2} ⟶ ℝ definiert durch

f(x, y) := \begin{cases}xy \frac{x^{2}−y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & , falls (x, y) ≠ 0 \\ 0 & , falls (x, y) = 0. \end{cases}

(a) Berechnen Sie die ersten partiellen Ableitungen (∂_{x}f)(x, y) und (∂_{y}f)(x, y) für (x, y) ∈ ℝ^{2}.

(b) Zeigen Sie, daß die zweiten partiellen Ableitungen (∂_{x}∂_{y}f)(0, 0) und (∂_{y}∂_{x}f)(0, 0) existieren und berechnen Sie diese. Warum widerspricht das Ergebnis nicht dem Satz von Schwarz?