Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 06 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Freitag, den 26.5.06, bis 10.00 Uhr in den Briefkästen Blatt 7

Aufgabe 1. Man untersuche, ob es jeweils eine ℝ-lineare Abbildung F gibt mit

a) F : ℝ^{3} → ℝ^{7}; F ((1, 1, 1)) = (1, 0, 1, 7, 3, 2, 1)
F ((1, 5, 1)) = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 1)
b) F : ℝ^{3} → ℝ^{2}; F ((0, 1, 1)) = (1, 1)
F ((1, 0, 1)) = (1, 1)
F ((1, 1, 1)) = (2, 3)
c) F : ℝ^{3} → ℝ^{2}; F ((0, 1, 1)) = (1, 0)
F ((2, 1, 3)) = (1, 1)
F ((1, 1, 2)) = (5, 6)

Aufgabe 2. a) Zeigen Sie:

(0, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 0)

bilden eine Basis des ℝ^{3}.

b) Für die lineare Abbildung F : ℝ^{3} → ℝ^{3}, erklärt durch

F ((0, 1, 1)) = (2, 1, 2)
F ((1, 1, 1)) = (0, 1, 1)
F ((1, 1, 0)) = (1, 2, 3)

berechne man F ((2, −1, 5)) und F ((1, 0, 10)).

Aufgabe 3. F : ℝ^{5} → ℝ^{3} sei erklärt durch

F ((x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5})) = (x_{1} + x_{3} − x_{5}, x_{1} − x_{2}, x_{1} + x_{2} + x_{4}) .

Man bestimme Basen von F^{−1}({0}) und F (ℝ^{5}).

Aufgabe 4. Es sei V = C^{∞}(X) der Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen über dem Einheitsintervall X = [0, 1].

a) Man zeige: D : V → V definiert durch F : f ↦ f′ und I : V → V definiert durch I : f ↦ ∫_{0}^{x} f(t) dt sind lineare Abbildungen.

b) Man berechne D ∘ I, I ∘ D, ker (D ∘ I), ker (I ∘ D).

c) Man zeige: D ist surjektiv, aber nicht injektiv. I ist injektiv, aber nicht surjektiv.

Aufgabe 5. Es sei F : ℝ^{n} → ℝ^{n} eine lineare Abbildung, erklärt durch F (e_{n}) = 0, F (e_{i}) = e_{i+1} (1 ≤ i ≤ n − 1). Man berechne

F^{k} = \underbrace{F ∘ ⋯ ∘ F}_{k mal} : ℝ^{n} → ℝ^{n} durch Angabe von F^{k}(e_{i}) (1 ≤ i ≤ n)

und

G_{k} := (a · id_{ℝ^{n}} + F)^{k} durch Angabe von G_{k}(e_{i}) (1 ≤ i ≤ n) .