Topologie 2 (V2D2), Sommersemester 2009

Dozent : Johannes Ebert
Endenicher Allee 60, Zimmer 419
E-mail : ebert (at) math.uni-bonn.de
Telefon : (0228) 73 52 88.

Sprechstunde : nach Vereinbarung.


Vorlesung

Montag 16-18 c.t. im Zeichensaal, Wegelerstraße 10, und
Mittwoch 8-10 c.t., Kleiner Hörsaal, Wegelerstraße 10.
Beginn: 15.4.2009.



Gegenstand dieser Vorlesung ist die Einführung in die singuläre Homologietheorie. Es geht darum, jedem Raum X eine Folge abelscher Gruppen Hn (X) zuzuordnen, welche wesentliche Eigenschaften von X reflektieren. Diese Gruppen sind funktoriell, mit anderen Worten, eine stetige Abbildung von Räumen induziert einen Homomorphismus der Homologiegruppen. Die elementaren Berechnungsmethoden für diese Gruppen werden eingeführt. Sobald die Homologie einiger Räme, beispielsweise der Sphären, berechnet worden ist, lässt sich eine Reihe geometrischer Sätze elegant beweisen, die ohne die Methoden der Homologietheorie sehr viel unzugänglicher sind. Zum Beispiel besagt der Brouwersche Fixpunktsatz, dass jede stetige Abbildung f:Dn → Dn einen Fixpunkt besitzt. Ebenso hat jedes tangentiale Vektorfeld auf einer gerade-dimensionalen Sphäre eine Nullstelle und jede stetige Abbildung eines gerade-dimensionalen reellen projektiven Raumes einen Fixpunkt.
Für die Entwicklung der Homologietheorie sind Hilfsmittel aus einer algebraischen Disziplin, der homologischen Algebra, erforderlich. Ein grosser Teil der Vorlesung wird daher auf die Entwicklung dieser algebraischen Methoden verwandt.
Des weiteren wird eine Variante der Homologie eingef¨hrt, die Kohomologie. Es stellt sich heraus, dass die Kohomologie eines Raumes zusätzlich die Struktur eines Ringes besitzt, was eine Reihe weiterer geometrischer Anwendungen ermöglicht.

Erforderliche Vorkenntnisse

Abgesehen davon, dass die Kenntnis der elementaren Grundbegriffe der mengentheoretischen Topologie vorausgesetzt wird, wird die Vorlesung weitgehend unabhängig von Topologie I sein. Insbesondere ist die Theorie der Fundamentalgruppen und der Überlagerungen für das Verständnis der Vorlesung nicht erforderlich (abgesehen von einigen Anwendungen und Übungsaufgaben).
Aus der Algebra ist eine gewisse Erfahrung im Umgang mit Abelschen Gruppen unerlässlich.

Literatur

Es gibt viele gute Lehrbücher zur Homologietheorie. Besonders empfohlen sind die folgenden beiden (die jeweils wesentlich mehr Stoff enthalten als in der Vorlesung behandelt werden kann):

Übungen

Das neue Übungsblatt wird hier am Montag ab 14:00 Uhr zum Herunterladen zur Verfügung stehen. Die Abgabe findet jeweils zehn Tage danach am Mittwoch, im Hörsaal, in der Pause der Vorlesung statt.