Vorlesung Differentialtopologie, Sommersemester 2017

Dozent : Johannes Ebert

  • Ort und Zeit: Montag und Mittwoch, 8.15-10.00,
  • Beginn der Vorlesung: 19.4.2016.

    • Überblick

    In dieser Vorlesung wird eine Einführung in die grundlegenden Methoden der Differentialtopologie gegeben. Die Hauptthemen sind:
  • Mannigfaltigkeiten und Vektorbüdel
  • Grundlegende Konstruktionstechniken: reguläre Werte, Flüsse von Vektorfeldern, Einbettungen, Tubenumgebungen und Isotopien.
  • Gruppenwirkungen auf Mannigfaltigkeiten
  • Transversalität
  • Abbildungsgrade, Schnittzahlen
  • Morsefunktionen
  • Eulerzahl und Vektorfelder
  • Klassifikation der Flächen
  • Optional (unwahrscheinlich): Bordismus und Pontrjagin-Thom-Konstruktion
    • Vorkenntnisse: Solide Kenntnisse in Analysis I, II und III, Linearer Algebra sowie etwas mengentheoretische Topologie sind unabdingbar. Der Großteil der Vorlesung (also etwa die ersten zwei drittel) ist ohne Kenntnis der Topologie I verständlich, auch wenn hier und dort Verbindungen hergestellt werden. Am Ende des Semesters, in der Morsetheorie und bei der Klassifikation der Flächen wird die Homologietheorie vorausgesetzt.

    Anrechenbarkeit in verschiedenen Studiengängen

    Die Veranstaltung kann im Masterstudiengang als Teil des Verbreiterungsmoduls oder als Teil des Spezialisierungsmoduls Topologie verwendet werden. Für die Anrechnung im Bachelorstudiengang sind individuelle Lösungen zu finden; bitte kontaktieren Sie mich am Semesterbeginn.

    Abschlussprüfung:

    Die Abschlussprüfung zu dieser Vorlesung findet als mündliche Prüfung statt. Termine nach Absprache.

    Übungen:

    Die Übungsgruppe wird von Lukas Buggisch geleitet und findet Mittwoch, 10-12, im Hörsaal M6 statt. Erster Terin ist der 26.4.
  • Blatt 1, Abgabe am 3.5.2017
  • Blatt 2, Abgabe am 17.5.2017
  • Blatt 3, Abgabe am 31.5.2017
  • Blatt 4, Abgabe am 14.6.2017
  • Blatt 5, Abgabe am 30.6.2017
  • Blatt 6, Abgabe am 14.7..2017

    • Literatur

    Die Lehrbuchliteratur zur Differentialtopologie ist relativ überschaubar. Für den Einstieg sind die Bücher
  • Milnor: Topology from a differentiable viewpoint
  • Bröcker, Jänich: Einf¨uhrung in die Differentialtopologie
    • und
  • Guillemin, Polack: Differential Topology
    • empfohlen. Das Buch von Milnor ist ein Klassiker der mathematischen Literatur, der auf wenigen Seiten einen guten Einblick in das Gebiet gibt. Die Entwicklung von Techniken, die für das weitere Studium eine Rolle spielen, bleibt etwas auf der Strecke. Bröcker und Jänich geben eine sehr sorgfältige und detailierte Darstellung der technichen Grundlagen der Differentialtopologie. Andrerseits taucht das Buch nicht in die wirklich interessanten Aspekte ein. Das Buch von Guillemin und Pollack ist in gewisser Weise ein Kompromiss zwischen beiden. Zur Morsetheorie, die letztlich zu Klassifikationsaussagen führt, findet man in diesen Büchern nichts. Hier benutze ich
  • Milnor: Morse Theory
  • Kosinski: Differential manifolds
    • und
  • Hirsch: Differential Topology
    • Wieder ist das Buch von Milnor ein Klassiker. Das Buch von Hirsch ist wegen der großen Allgemeinheit und Abstraktheit der Darstellung sehr schwer zu lesen.