Vorlesung Indextheorie I, Wintersemester 2013/14

Dozent : Johannes Ebert

Vorlesung

Mi, Do, 8-10, jeweils N1. Achtung: Ge&aauml;nderte Vorlesungszeit!
Beginn: 16.10.2013.



Der Indexsatz von Atiyah-Singer ist eines der zentralen Ergebnisse der Mathematik des vergangenen Jahrhunderts. Er handelt von elliptischen Differentialoperatoren auf geschlossenen Mannigfaltigkeiten. Der Index eines solchen Operators ist die Differenz der Dimensionen seines Kerns und des Kokerns. Viele bekannte Invarianten von Mannigfaltigkeiten können als Index eines elliptischen Operators interpretiert werden, so zum Beispiel die Eulercharakteristik oder die Signatur. Ein weiteres Beispiel ist der Laplaceoperator auf Kählermannigfaltigkeiten, dessen Eulerzahl die holomorphe Eulercharakteristik ist. Die Indexformel gibt nun eine allgemeine topologische Formel für den Index eines beliebigen Operators. Der Index hängt ab von Invarianten des Tangentialbündels und den lokalen Daten des Differentialoperators. Die Indexformel enthält den Satz von Gauss-Bonnet-Chern, den Hirzebruchschen Signatursatz und den Satz von Riemann-Roch als Spezialfälle. Mit der Indexformel sind eine Vielzahl an Querverbindungen verschiedener mathematischer Gebiete verbunden, und die Vorlesung ist eine exzellente Gelegenheit, die Mathematik als eine einheitliche Wissenschaft und nicht als Ansammlung disjunkter Teilgebiete kennenzulernen. Formulierung und Beweis benötigen Begriffe aus Algebraischer Topologie, Differentialgeometrie und Funktionalanalysis. Die Anwendungen reichen in die komplexe Geometrie, Darstellungstheorie, geometrische Topologie, Mathematische Physik, Differentialgeometrie etc.

Themen der Vorlesung

Fredholmoperatoren und abstrakte Indextheorie in Hilberträumen. Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten, die wichtigsten Beispiele (de Rham-Komplex). Vektorbündel, Zusammenhänge, Krümmung und Charakteristische Klassen. Der Satz von Gauss-Bonnet-Chern. K-Theorie und Bott-Periodizität In der Fortsetzungsvorlesung: Regularitätstheorie elliptischer Operatoren, K-theoretischer Beweis des Indexsatzes. Umrechnung in kohomologische Invarianten. Anwendungen und Spezialfälle. Dirac-Operatoren, Spin-Strukturen. Anwendung auf Metriken positiver Skalarkrümmung. Alternativer Beweis der Indexformel für Dirac-Operatoren mittels Wärmeleitungsgleichung. Erweiterung auf Atiyah-Patodi-Singer-Randwertprobleme.

Erforderliche Vorkenntnisse

Die Indextheorie ist keine bourbakische Disziplin, welche aus wenigen Axiomen entwickelt werden kann, sondern speist sich aus vielen Quellen. Andererseits sind die nötigen Kenntnisse aus Differentialgeometrie, Topologie, Funktionalanalyis jeweils relativ moderat. Sie sollten zumindest in einem dieser drei Gebiete eine einführende Vorlesung absolviert haben; auch Funktionentheorie (d.h. Riemann Flächen ist eine solide Basis). Ich werde versuchen, den Kurs so unabhängig wie möglich von anderen Vorlesungen zu machen. Speziellere oder schwierigere Ergebnisse werde ich zum gegebenen Zeitpunkt sauber zitieren. Realistischerweise muss ich aber einiges voraussetzen:
  • Sehr gute Kenntnisse in Analysis II und III, linearer und multilinearer Algebra.
  • Den kompletten Inhalt der Vorlesung ''Mannigfaltigkeiten und Differentialformen'', inklusive de Rham-Kohomologie.
  • Etwas algebraische Topologie: Fundamentalgruppen, der Homotopiebegriff, etwas Homologie und homologische Algebra.
  • Vertrautheit mit den elementaren Begriffe der Differentialgeometrie, wie ''Vektorbündel'', ''Riemannsche Metrik''.
  • Die Anfangsgründe der Lie-Theorie, also Begriffe wie ''Liegruppe'', ''Liealgebra'', ''Exponentialabbildung'' und ''Darstellung'' dieser Dinge
  • Etwas Funktionalanalysis (Hilbertraum, Orthonormalsysteme, beschränkte Operatoren, die $L^2$-Räume. Fourierreihen

    • Literatur

    Als vorbereitende Lektüre sei empfohlen:
  • Jänich: ''Vektoranalysis''. Eine Einführung in Mannigfaltigkeiten und den Kalkül der Differentialformen
  • Bröcker, Jänich: ''Einführung in die Differentialtopologie'', Kapitel 1-5; als Einführung in Mannigfaltigkeiten und Vektorbündel
  • Morita: ''Geometry of differential forms''. Geht sehr viel weiter als das Buch von Jänich, aber dafür schon in die Richtung des Indexsatzes.
  • Hirzebruch, Scharlau: ''Einführung in die Funktionalanlysis'', Kapitel VI und VII enthält das meiste an Funktionalanalysis, das für die Indextheorie relevant ist.

    • Einen Überblick über das Gebiet kann man sich anhand der folgenden Quellen verschaffen
  • Übersichtsartikel
  • Folien eines Übersichtsvortrages

    • Für die Indextheorie selbst gibt es viele Bücher; hier sind einige:
  • Booss: ''Topologie und Analysis''. Eine leicht lesbare, wenn auch zeitweise weitschweifige Darstellung
  • Lawson, Michelssohn: ''Spin Geometry''. Der Goldstandard, ist aber mehr eine Enzyklopädie als ein Lehrbuch.


    • Lecture notes

    Es entsteht ein Vorlesungsskript, Korrekturen und andere Kommentare sind willkommen.
    Vollständiges Skript des Wintersemesters, Version vom 21.3.14

    Übungen

    Die Übungsgruppe findet Freitags, 14-16 Uhr im SR 5 statt. Übungsgruppenleiter: William Gollinger
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    Blatt 11: typos corrected!
    Blatt 12 (Keine Abgabe)