Indextheorie II, Sommersemester 2014
Dozent : Johannes Ebert
Vorlesung
Di, Mi, 8-10, jeweils N3.
Beginn: 8.4.
Der Indexsatz von Atiyah-Singer ist eines der zentralen Ergebnisse der Mathematik des vergangenen Jahrhunderts.
Er handelt von elliptischen Differentialoperatoren auf geschlossenen Mannigfaltigkeiten. Der Index eines solchen Operators ist die Differenz
der Dimensionen seines Kerns und des Kokerns. Viele bekannte Invarianten von Mannigfaltigkeiten können als Index eines elliptischen Operators interpretiert werden, so zum Beispiel die Eulercharakteristik oder die Signatur.
Ein weiteres Beispiel ist der Laplaceoperator auf Kählermannigfaltigkeiten, dessen Eulerzahl die holomorphe Eulercharakteristik ist. Die Indexformel gibt nun eine allgemeine topologische Formel
für den Index eines beliebigen Operators. Der Index hängt ab von Invarianten des Tangentialbündels und den lokalen Daten des Differentialoperators. Die Indexformel enthält den Satz von Gauss-Bonnet-Chern, den Hirzebruchschen
Signatursatz und den Satz von Riemann-Roch als Spezialfälle.
Mit der Indexformel sind eine Vielzahl an Querverbindungen verschiedener mathematischer Gebiete verbunden, und die Vorlesung ist eine exzellente Gelegenheit, die Mathematik als eine einheitliche Wissenschaft und nicht als Ansammlung disjunkter
Teilgebiete kennenzulernen. Formulierung und Beweis benötigen Begriffe aus Algebraischer Topologie, Differentialgeometrie und Funktionalanalysis. Die Anwendungen reichen in die komplexe Geometrie, Darstellungstheorie, geometrische Topologie,
Mathematische Physik, Differentialgeometrie etc.
Themen der Vorlesung
K-Theorie und Bott-Periodizität, Fredholm-Operatoren und K-Theorie. Vertiefung der Theorie der charakteristischen Klassen. Formulierung des Indexsatzes in K-Theorie und Kohomologie. Dirac-Operatoren und Clifford-Algebren. Spin-Strukturen. Anwendung auf positive Skalarkr&uumkl;mmung.
Beweis des Indexsatzes mittels Bordismusinvarianz
Skript
Den Stoff des ersten Teils finden Sie in dem Skript
Vollständiges Skript des Wintersemesters und der ersten beiden Teile des Sommersemesters, Version vom 5.6.2014
Link zu den Übungsaufgaben des ersten Teils
Übungen
Die Übungsgruppe findet Donnesrtag, 10-12, im SR 1C statt.
Link zu den Übungsaufgaben des ersten Teils
Blatt 1
Blatt 2
Blatt 3
Blatt 4
Blatt 5